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计算半径为 r(>0) 的圆Cʳ上,弧度为θ的圆心角对应的弧长s是非常简单的事情,

由于,Cʳ的周长2πr实际上是弧度为2π的圆心角对应的弧长,所以得到,s=2πr⋅θ/2π=rθ。

但是,若R处于流形中,我们又该如何计算呢?

任意维度的欧氏空间 ℝⁿ 上的 恒等映射,都是 自身到自身 光滑同胚,于是 构成的流形。考虑流形 ℝ 到 ℝ² 的光滑映射,

它在 ℝ² 中的像就是 Cʳ。

我们在 ℝ 中取长度为θ开区间 V=(a, b) ,则 弧f(V)的长度就是所求s。如图1,将V平均分为v个小区间,令x₁=a,xᵥ₊₁=b,这些分割点的像 f(x₁),⋯,f(xᵥ₊₁) 同时也把弧f(V) 分为v个弧长分别为 s₁, ⋯, sᵥ 的小弧度,小弧长度之和就是s。

图1:计算弧长

每个小区间 (xᵢ, xᵢ₊₁),都对应 导射 df|ₓᵢ ,它是 xᵢ 处切空间 Tℝₓᵢ 到 f(xᵢ) 处的切空间 Tℝ²的线性映射,又因为 Tℝₓᵢ就是ℝ, 所以 Δxᵢ=|xᵢ₊₁-xᵢ| 也就是 Tℝₓᵢ 中的切向量,故 df|ₓᵢ(Δxᵢ) 是 Tℝ²中的切向量,同时也是 Cʳ 在 f(xᵢ) 点 的切向量。

我们知道,当v趋近无穷大时,Δxᵢ趋近0,于是 弧长 sᵢ 趋近 弦长 ǁf(xᵢ₊₁)-f(xᵢ)ǁ,而此时,弦向量 f(xᵢ₊₁)-f(xᵢ) 也将逼近 df|ₓᵢ(Δxᵢ) ,于是有,

进而,

至此,问题关键转变为:求 Tℝ² 中向量 df|ₓ(1) 的长度,这个根据《矢量分析》的知识有,

注:ǁxǁ 表示向量x的长度,也叫模或范数;< x,="" y=""> 表示向量x和y的内积(为了区别于二元坐标向量,本系列一律使用尖括号表示内积)。

于是,

这与我们一开始计算出来的结果一致。

若将上面的流形从 ℝ² 替换为 S²,则光滑映射,

在S² 中的像是 Cʳ,(当然,这里需要规定 r <>

用类似上面的方法,同样可以得到 ⑴,所以关键是:求 TS² 中向量 df|ₓ(1) 的长度,这有,

这与前面的结果相同,故,最终的弧长也和前面完全一样。


实际上,对于任何光滑流形 M 中的任何光滑曲线f: ℝ→M 的弧长s的计算,都可以 推导 出公式 :

所以,问题的关键是:

求空间 TM 中向量 df|ₓ(1) 的长度 ǁdf|ₓ(1)ǁ。

这样就将,流形中任意两点间的任意弧长的度量问题,转变为,对于切空间中切向量长度的度量问题。也即是说,我们只需要在切空间中定义切向量h的度量ǁhǁ,就可以通过 ⑴,在流形中诱导出弧长度量。而根据《矢量分析》的知识知道:

因此,最终的关键是,要给M的每个点x对应的切空间TMₓ 定义一个内积 <⋅, ⋅="">,更具体地说,我们需要定义一个从M到全体内积的光滑映射g,对于每个 x∈M,有 g(x) = <⋅, ⋅="">:TMₓ×TMₓ→ℝ,而由《高等代数》的知识知道,<⋅, ⋅=""> 是TMₓ 上的二重线性函数,并且必须满足:

对称性: = 正定型: ≥ 0 且 = 0 ⇔ u=0;

这个映射g就是大名鼎鼎的黎曼度量(riemannian metric),定义了黎曼度量的光滑流形称为黎曼流形(riemannian manifold)。

图2:黎曼度量

我们知道线代空间加入内积就变成了内积空间,实际上所谓加入黎曼度量,就是以光滑的逐点方式,让流形上的每个切空间变成内积空间的过程。


内积可以很多,我们熟悉的的向量点乘:

称为欧氏内积。一遍来说,对于流形M的不同的切空间可以定义不同的内积,只要保证黎曼度量g是光滑映射就可以了,但是我们也可以对所有切空间定义同一个内积,比如:让S²的所有切空间都是欧氏内积,实际上欧氏空间 ℝⁿ 自然就具有 欧氏内积,所以它当然也就是 黎曼流形了。

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弧长的计算公式?

弦中心到弧顶的距离=弧高=半径-圆心到弦的距离。
连接弧顶到弦的一个端点,这条直线与圆心到弧顶直线之间的夹角α可以求出:
tanα=(1/2)弦长/弧高

求出α≈?(利用计算器求出,用弧度单位表示)
所以圆心角θ就可以求出:
θ=2×(π-2α)≈?
半径r=(1/2)弦长/sin(θ/2)
所以,弧长=半径×圆心角

圆弧长计算公式是什么?

圆的弧长计算公式为L=n(圆心角度数)× ?π(1)× ?r(半径)/180(角度制)。公式中的L=α(弧度)× r(半径) ?(弧度制)。其中n是圆心角度数,r是半径,L是圆心角弧长。在半径是R的圆中,因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πr。

弧长公式的推导:扇形的弧长是圆的其中一段边长,扇形的角度是360度的几分之一,那么扇形的弧长就是这个圆的周长的几分之一,可以得出:扇形的弧长=2πr×角度/360。其中,2πr是圆的周长,角度为该扇形的角度值。

扩展资料

圆的弧长其他公式:

圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积,圆锥体的侧面积=πRL圆锥体的全面积=πRl+πR?,π为圆周率≈3.14,R为圆锥体底面圆的半径,L为圆锥的母线长 我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线,n圆锥圆心角=r/l*360 360r/l

侧面展开图的圆心角求法:n=360r/R=πRr或2πr=nπr/180 n=360r/R 。S扇=(n/360)πR^2 (n为圆心角的度数,R为扇形所对应圆的半径)。如果题目中有切线,经常用的辅助线是连接圆心和切点的半径,得到直角,再用相关知识解题。

参考资料:—弧长计算公式

弧度数计算公式

弧度的计算方法是:用弧长除以半径。弧度的公式是:弧度=度数*π/180。

弧长除以半径,以l表示弧长,r表示半径,R表示弧度则R=l/r. 得到的是该弧所对圆心角的弧度值。 R=1.5的角度可以这样直接得到:找一个厚度合适的薄圆板。用一根1.5倍半径长度的细线紧贴着绕在圆周上。

线两端所对应的圆心角就是1.5rad. 如果用弧度做单位,已知角度求弧长或已知弧长求角度都很方便。特别是非常小的角度(这在天文上经常用)就等于物体的大小除以距离

弧度=度数*π/180。比如圆的1/4是90度,则对于的弧度是90*π/180=π /2。其实由于圆弧长短与圆半径之比,不因为圆的大小而改变,所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量。角度以弧度给出时,通常不写弧度单位。

弧度介绍

在数学和物理中,弧度是角的度量单位。它是由国际单位制导出的单位,单位缩写是rad。定义:弧长等于半径的弧,其所对的圆心角为1弧度。(即两条射线从圆心向圆周射出,形成一个夹角和夹角正对的一段弧。当这段弧长正好等于圆的半径时,两条射线的夹角的弧度为1)。