离散时间傅里叶变换的定义

离散时间傅里叶变换，简称：DTFT，是傅里叶变换的一种。它将以离散时间nT，其中，T为采样间隔，作为变量的函数变换到连续的频域，即产生这个离散时间信号的连续频谱，值得注意的是这一频谱是周期的。

离散时间傅里叶变换的性质：

1、周期性；

2、线性性；

3、共轭对称性；

4、卷积特性；

5、相乘特性；

6、对偶性。

离散傅里叶变换的定义

离散傅里叶变换（DFT），是傅里叶变换在时域和频域升袭上都呈现离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频吵困兄域的采样。在形式上，变换两端（时域尺纤和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。

如何通俗地解释什么是离散傅里叶变换

离散傅里羡蔽叶变换(discrete Fourier transform) 傅里叶分析方法是信号分析的最基本方法，傅里叶变换是傅里叶分析的核心，通过它把信号从时间域变换兄耐州到频率域，进而研究信号的频谱结构和变化规律。

中文名

离散傅里叶变换

外文名

discreteFourier transform

时域信号

离散时间傅里叶变换

计算

快速傅里叶变换

应用亩氏学科

通信

特点

傅里叶、离散

离散傅里叶变换DFT和离散时间傅里叶变换DTFT的区别

一、两者的实质不同：

1、离散傅里叶变换DFT的实质：离散时间傅里叶变换。

2、离散时间傅里叶变换DTFT的实质：序列的傅里叶变换。

二、两者的结果不同：

1、离散傅里叶变换DFT的结果：傅里叶分析方法是信号分析的最基本方法，傅里叶变换是傅里叶分析的核心，通过它把信号从时间域变换到频率域，进而研究信号的频谱结构和变化规律。

2、离散时间傅里叶变换DTFT的结果：原信号如果是非周期函数，DTFT变换后是连续函数；原信号如果是周期函数，DTFT变换后是离散函数。好链

三、两者的周期不同：

1、离散傅里叶变换DFT的周期：

（1）从序列DFT与序列FT之间的关系考虑X(k)是对频谱X(ejω)在[0,2π]上的N点等间隔采样，当不限定k的取值范围在[0,N-1]时，那么k的取值就在[0,2π]以外，从而形成了对频谱X(ejω)的等间隔采样。由于X(ejω)是周期的，这种采样就必然形成一个周期序列。

（2）从DFT与DFS之间的关系考虑。X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) WNexp^nk，当不限定N时，具有周期性。

（3）从WN来考虑，当不限定N时，具有周期性。

2、离散时间傅里叶变换DTFT的周期：

将以离散时间信号X(n)变换到连续的频域，值得注意的是这一频谱是周期的，且周期为2π。

参考资料来源：百度百族凳科-离散傅里叶变换

参考资料来源：友穗孙百度百科-DTFT

开刷：《信号与系统》 Lec #11 离散时间傅里叶变换性质

课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。

视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课高困本的作者。

p.236 - p.256

离散时间傅里叶变换 是一个以频率 为自变量的周期信号，周期为 。

由于离散时间信号只能在整数处取值，所以定义时域扩展信号

那么该扩展后的信号的傅里叶变换为

即原始信号的傅里叶变换在频域上被压缩了 倍。

如果

那么

如果

那么

即输出 的傅里叶变换等于输入两信号的 周期卷积 。

对偶性参考书中p.253的表5.3.

连续时间中，傅里叶变换对 和 对偶；

离散时间中，傅里叶级数对 和 对偶；

此外，连续时间傅里叶级数的分析公式 和离散时间傅里叶变换的综合公式 对偶，连续时间 是周期 上对 的积分，离散时间傅里叶变换 的综合公式是周期 上对 的积分。

对于LTI系统，可以通过下面线性常系数差分方程戚仿念描大袭述，

系统的频率响应