商集的定义是什么-排行榜大全

商集，是集合论的基本概念之一，指由集合和该集合上的等价关系导出的集合。

设X是非空集合A的一个等价关系，若把以A关于X的全部等价类作为元素组成一个新的集合B，则把集合B叫做A关于X的商集合，简称为商集。

商集的定义是什么？

·[商集]

R是A上的[等价关系]，由关于R的所有不同的[等价类]作为元素组成的集合称为A关于R的[商集]，记作A/R

本质上说，集合A关于等价干系R的商集A/R是A上的一个[划分]，等价类就是[块]。即商集A/R中，全部元素相并就等于集合A，任意两个元素相交都为空集。

S={A1,A2,..An}

A1并A2并...并An=A 且 Ai交Aj={} (i><j;i,j=1,2...n)

==>S是A的一个划分，Ai是A的子集，也是划分S的块。

[定理] A上的一个划分S能唯一确定一个等价关系R

这个划分S就是A关于R的商集A/R，S=A/R

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附：

·[二元关系]

设A,B是集合，R是笛卡儿乘积AxB的子集，则称R是A到B的一个二元关系，例如A={x,y},B={a,b},R={(x,a),(x,b),(y,b)}

·[自反的二元关系]

如果对于集合A的每一个元素a都有(a,a)属于二元关系R，则称R为自反的二元关系

·[对称的二元关系]

如果每当(a,b)属于R，就一定有(b,a)属于R，则称R是对称的二元关系

·[传递的二元关系]

如果每当有(a,b),(b,c)属于R，必有(a,c)属于R，则称传递的二元关系

·[等价关系]

R是A上的[二元关系]，如果R是自反的、对称的、传递的二元关系，则称R为A上的[等价关系]。

·[等价类]

设R是A的等价关系，a是A中的任意元素，由A中的所有与a相关的元素组成的集合，称为a关于R的等价类，记作[a]R

·例如：

A={a,b,c,d,e,f}={某大学宿舍的大学生}；

R是A上的同乡关系[不难证明同乡关系是等价关系]，

若a,b是北京人，c是广东人，d,e,f南京人，

则R={(a,a)(a,b)(b,a)(b,b)(c,c)(d,d)(d,e)(d,f)(e,d)(e,e)(e,f)(f,d)(f,e)(f,f)}

A中各元素关于R的等价类分别是：

[a]R=[b]R={a,b}

[c]R={c}

[d]R=[e]R=[f]R={d,e,f}

A关于R的商集A/R={[a]R,[c]R,{d}R}={{a,b},{c},{d,e,f}}

帮忙用简洁明了的话语说明一下，在抽象代数中什么是商集？什么是陪集？

商群和陪集是描述群和它的子群的关系的

群里面的元素可以通过他的任意子群进行划分，划分出来以后只有一个是群，就是那个子群而其他的就是这个子群的陪集

这些陪集之间也可以将特征元做基于原来群的运算，从而就定义了这些陪集之间的新运算，这也是一个群运算，所以商群是一些集合元素组成的一个群

离散数学的一道题，问题如图，商集要怎么求

答案的写法是错的。

商集与划分有什么关系？商集是所有的等价类组成的集合。根据等价关系R的定义，A的任意两个子集如果元素个数相同，这两个子集就有关系R。所以等价类是：

含有0个元素的子集有1个，等价类是[Φ]={Φ}；

含有1个元素的子集有4个，等价类是[{1}]={1,2,3,4}=A；

含有2个元素的子集有6个，等价类是[{1,2}]={{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}}；

含有3个元素的子集有4个，等价类是[{1,2,3}]={1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}}；

含有4个元素的子集有1个，等价类是[{1,2,3,4}]={{1,2,3,4}}={A}.

商集P(A)/R={[Φ]，[{1}]，[{1,2}]，[{1,2,3}]，[{1,2,3,4}]，还可以把上面每一个等价类对应的集合的形式代入，展开写

群论的基本概念

定义: 设S是一个非空集合，那么S与自身的笛卡尔积到S自身的映射就叫做S的结合法或运算即：

这时，S叫做代数系。换句话说，对于一个集合S，如果在这个集合上的某种运算是封闭的( )，那么就称S是这种运算的代数系。

代数系有时候也被称为广群，当一个广群满足某些条件的时候，便可以称作群

1.结合律

设S是具有一个运算的非空集合，如果对S中的任意元素a,b,c，在S上的运算都有：

(ab)c = a(bc)

则称该运算满足结合律。

2.单位元

设S是一个具有运算的非空集合，如果S中存在一个元素e；使得对S中的所有元素a都有：

ea = ae = a

则称该元素e为S中的单位元，通常记作e

3.可逆性

设S是一个具有运算并且有单位元的非空集合，设a是一个S中的元素，如果S中存在一个元素a'使得:

aa' = a'a = e

则称该元素a为S中可逆元，a'称为a的逆元，通常记作

4.群的定义：

设G是一个具有运算的非空集合，称G为一个群，如果G上的运算满足下面三个条件：

(i)结合律，即对都有：

(ab)c = a(bc)

(ii)单位元，即使得都有：

ae = ea = a

(iii)可逆元，即使得：

aa' = a'a =e

如果群G中的元素个数叫做群G的阶，记位|G|；当|G|为有限数的时，G叫做有限群，否则G叫做无限群。

换句话说，如果在集合G上的运算满足结合律，并且在该运算下G中存在单位元，并且G中的每个元素都有逆元，则称G是一个群。

因此群的单位元是唯一的

5.交换律

设S是一个具有运算的非空集合S，如果都有：

ab = ba

则称该运算满足交换律。

如果群G中的运算还满足交换律，那么则称这个群是交换群或者阿贝尔(Abel)群。

定理：设n是正整数，如果，则记，称为 a 的 n 次幂；特别地，定义为单位元，逆元的n次幂。

性质：设a是群G中的任意元素，则对任意的整数m, n, 有:

定义: 设H是群G的一个子集合，如果对于群G的运算，H成为一个群，那么H就叫做群G的子群，记作

Notation: H={e}和H=G都是群G的子群，叫做群G的平凡子群；群G的子群H叫做群G的真子群，如果H不是群G的平凡子群。

子群的判定定理: 设是群的一个非空子集，则H是群G的子群的充分必要条件是：

陪集的定义: 设是群的子群，是中任意元素，那么集合：

叫做中的左陪集(相似的，可以定义中的右陪集 )，中的元素叫做的代表元，如果，则叫做中的陪集

需要注意的是，在陪集定义中的是指和在群上定义的运算

陪集的性质: 设是群的子群，则

i)对任意，有：，

ii)对任意，有

判断陪集相等: 对任意的充要条件是，相反的如果，则。

商集的定义: 设H是群G的子群，则H在G中不同左陪集组成的新集合

，叫做H在G中的商集，记作G/H,即

而G/H中不同左陪集的个数叫做H在G中的指标，记为[G:H]

商集指标的性质: 设H是群G的子群，则|G|=[G:H]|H|

更进一步，如果是群的子群，且是的子群，则

，其中的每个指标都是有限的

拉格朗日推论: 设是有限群的子群，则子群的阶是群的阶的因数

定义: 设N是群G的子群，称N为群G的正规子群，如果N满足：

i)对任意，有

ii)对任意，有

iii)对任意，有，其中

正规子群的性质: 设N是群G的正规子群，G/N是由N在G中的所有左陪集组成的集合，则对于运算(aN)(bN)=(ab)N，G/N构成一个群.

定义: 设和都是群，是到的一个映射，若有：

则称是到的一个同态

需要注意的是，同态可称作保持运算的映射：

如果是单射，则称为单同态；如果是满射，则称是满同态；如果是双射，则称为同构。

如果群G和G'之间存在一个同构映射，则称G和G‘是同构的，记为G G'

当G=G'的时候，同态叫做自同态；同构叫做自同构。

同态的性质：

i) ，即同态将单位元映射到单位元

ii) ，即同态将a的逆元映射到的逆元

iii) 是G'的子群，且f是满同态的充要条件是：f(G)=G'

核子群：是的子群，并且是单同态的充要条件是：，便称为核子群

定理：设是群G到群G'的同态，则是G的正规子群，反过来，如果N是群G的正规子群，则映射：是ker(f)=N的同态，并且s被称为G到G/N的自然同态。

同态分解（由一个同态映射得到一个同构映射）：设f是群G到群G‘的同态，则存在唯一的G/ker(f)到群f(G)的同构映射。

并且可以得到一个映射转换关系：，其中s是群G到商群G/ker(f)的自然同态，是f(G)到G'的恒等同态。即：

离散数学中商集怎么求，商集是什么形式的

郭敦顒回答：

.等

价

关

系

和

序

关

系

【定

义

5】

设A≠Φ，R⊆A×A，

若R是自反的

、

对称的和传递的，

则称R为A上的等价关系。（R⊆A×A——R包含于和等于A×A，不知网络传送后的结果如何，复制时不少符号就不能复制，）

【定

义

6】

设R是非空集合A上的等价关系，

对任意的x∈（属于）A，

定

义[x]R=

{y|y∈A∧（与）xRy}，

称为x关于R的等价类

，

简称x的等价类

，在不混淆的情况下记为[x]。

【例

子2

1】

给出一个等价关系，并求其每个元素的等价类

。

【定

理

7】

设R是非空集合A上的等价关系，对于任意的x,y∈（属于）A

，有：

[x]R≠Φ，且[x]R

⊆A（[x]R

包含于和等于A）

.若

∈（属于）R，

则[x]R=

[y]R

.若

∉R（

不属于R），

则[x]R∩[y]R=Φ

.{

[x]R|x∈A

}

A。

【定

义

8】设R是非空集合A上的等价关系，

以关于R的全体不同的等价类为

元素的集合称为A关于A的商集

，

记为A

R。

【例

子2

2】

给出一个集合和等价系求商集

。

【定

义

9】

设A为非空集合，

若存在A的一个子集簇C

⊆（包含于和等于）P

(

)满足：



.Φ∉C（空集不属于C），

.对于A的任意子集x,y∈（属于）C，

若x≠（不等于）y，

则x∩（交）y=Φ（空集），

.∪（并）C

A。则称C为A的一个划分，C中的元素称为划分块

。

【定

义

0】

设A为非空集合，

则



.设R为A上的任意一个等价关系，

则商集A

R是A的一个划分，



.设C是A的任意一个划分，

则定义RC=

{

|x,y∈（属于）A∧（与）x,y属于C的同一划分块}，则RC（C为下脚）是等价关系

。

以上是百度过文库——《离散数学》（nuerhach221贡献于2010-09-15）第三讲集合论中的关于商集方面的内容，文中【例

子2

2】

给出一个集合和等价系求商集，文库资料中并未具体实例，为了加深对商集的理解更是对提问者的具体回答，编出一个实例说明商集的来法——

设集合A={1，2，3，4，5，6，7，8}，

设R是非空集合A上的等价关系，有：

RC=∪（并）C=C1+C2+C3，和RD=∪（并）D=D1+D2，且

C1={3}，C2={2，5，7}，C3{1，4，6，8}；D1={6，5，1}，D2={2，3，4，7，8}，

∴RC=∪（并）C=C1+C2+C3

={3，2，5，7，1，4，6，8}={1，2，3，4，5，6，7，8}=A

RD=∪（并）D=D1+D2，

={6，5，1，2，3，4，7，8}=

{1，2，3，4，5，6，7，8}=A，

RC和RD是非空集合A上的不同等价关系的全体，它们的元素为<1，2，3，4，5，6，7，8>

∴商集：A/R=A=

{1，2，3，4，5，6，7，8}

商集的定义是什么