三角形问题

三角形分类：

1、锐角三角形：三角形的三个内角都小于90度；

2、直角三角形：三角形的三个内角中一个角等于90度；

3、钝角三角形：三角形的三个内角中有一个角大于90度；

4、不等边三角形，指的是三条边都不相等的三角形叫不等边三角形；

5、等腰三角形，指两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰，等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角；

6、等边三角形，为三

关于三角形的问题

一、直角三角形（right
triangle）。
1）直角三角形的定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。
直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质。
2）直角三角形的性质：
（1）直角三角形两个锐角互余；
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（3）在直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半；
（4）在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；
（5）在直角三角形中，两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a^2＋b^2=c^2
(勾股定理)；
（6）直角三角形斜边上的高h等于该直角三角形外接圆半径斜边上的中线等于该直角三角形内切圆半径.
3)直角三角形的判定：
（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形；
（2）一个三角形,如果这个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形；
（3）若a^2＋b^2=c^2，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边直角三角形（勾股定理的逆定理）；
（4）若三角形30°内角所对的边是某一边的一半
,那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形；
（5）两个锐角互余的三角形是直角三角形.
二、等腰三角形（isosceles
triangle）
1)等腰三角形的定义：
有两边相等的三角形是等腰三角形
2）等腰三角形的性质：
1.等腰三角形的两个底角相等。
（简写成“等边对等角”）
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一”）
3.等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
6等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)
7等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴
3）.等腰三角形的判定：
有两条边相等的三角形是等腰三角形
有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）
三、等边三角形（equilateral
triangle）
等边三角形也称正三角形。
1)等边三角形的定义：
有三边都相等的三角形是等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。
2)等边三角形的性质：（具有等腰三角形的所有性质，结合定义更特殊）
1等边三角形的内角都相等，且为60度
2等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
3等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线
3）等边三角形的判定：（首先考虑判断三角形是等腰三角形）
（1）三边相等的三角形是等边三角形（定义）
（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形

三角形问题？

因为是内切圆，所以BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的角平分线，
而又因为∠A=60°
所以∠B+∠C=120°
而因此∠CBD+∠BCD=60°
所以∠BDC=120°
所以，使用三角形公式
S△BCD=1/2BD*CD*sin∠BDC
=1/2*4*2*sin120°
=2√3

三角形动点问题的解题技巧

三角形动点问题的解题技巧如下文：

初中数学中，动点问题一直热门考点，而且动点问题也是学习的一个难点，在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并且对这些点在运动变化的过程中，存在着等量关系，变量关系，

以及对图形的特殊状态、图形间的特殊关系进行研究考查，具有较强的综合性。常见的题型是：动态几何题是指随着几何图形中某一个（或几个）元素的运动，导致问题结论改变或不变的几何题。

解决动点问题常见的答题思路是：变化前的结论及说理过程对变化后的结论起到重要作用；在图形变化前后，明确哪些关系发生变化，哪些关系没有发生变化，变化前的等角、等线段在变化后是否还存在；

几种变化图形之间，说理思路存在内在联系，变化后的说理思路可模仿与借鉴变化前的说理过程，变化后的结论有时发生变化，有时不发生变化。

例题1：如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，D为AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A以a cm/s的速度运动，设运动的时间为t s。

问：（1）求CP的长，（2）若以C.P.Q为顶点的三角形和以B,D,P为顶点的三角形全等，且∠B和∠C是对应角，求a的值。

【解析】：本题考查的是动点的为题，点P在线段BC上运动，根据距离=速度*时间，可得BP=3t cm，又已知BC=8cm所以CP=(8-3t)cm。因为两个三角形全等，对应边没有明确，

因此需要分类讨论，才能不丢解。当BD=CP时，D为AB的中点，所以BD=5cm，所以5=8-3t，得t=1。因为△BDP≌△CPQ，所以BP=CQ，得3t=at，得a=3。当BP=CP时，3t=8-3t,得t=4/3,因为△BDP≌△CQP，所以BD=CQ，即5=4a/3,得a=15/4。综上所述，a值为3或15/4.

三角形问题

（1）解：因为AD=DC
角ADB=角EDC
BD=DE
所以三角形ADB全等三角形EDC (SAS)
所以角DAB=角ACB
因为AD=DC
所以角DAC=角ACB
所以角DAB=角DAC=角ACB
因为角ACB=40度
所以角DAB=角DAC=40度
因为角BAC=角DAB+角DAC
所以角BAC=80度
（2）证明：连接DH， DF 设AD与BE相交于点O
因为BD=DE
所以三角形BDE是等腰三角形
因为F是BE的中点
所以DF是等腰三角形BDE的中线，垂线
所以角DFE=90度
角DBE=角DEB
因为角ADB=角DAC+角ACB
角DAC=角ACB (已证)
所以角ADB=2角ACB
因为角EDC=角DBE+角DEB=2角DBE
因为角ADB=角EDC
所以角DBE=角ACB
因为角ACB=角DAB (已证）
所以角DAB=角DBE
因为角ABD=角ABE+角DBE
角BOD=角ABE+角DAB
所以角ABD=角BOD
因为三角形ABD全等三角形EDC (已证）
所以角ABD=角CED
所以角BOD=角CED
因为FG垂直AD于G并延长交AC于H
所以角FGO=90度
因为角FGO+角OFG+角BOD=180度
所以角BOD+角OFG=90度
因为角DFE=角DFH+角OFG=90度
所以角BOD=角DFH
所以角DFH=角CED
所以D ,F ,E ,H四点共圆
所以角DFE=角DHC=90度
所以DH垂直AC
因为AD=DC
所以三角形ADC是等腰三角形
所以DH是等腰三角形ADC的垂线，中线
所以H是AC的中点
所以AH=CH

三角形问题。

三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做作三角形的重心
重心的性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心
外心的性质：

1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的重心坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标：(
(c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c
)。

5、外心到三顶点的距离相等
三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心
内心的性质：

1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。

2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

3、P为ΔABC所在平面上任意一点，点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c)