动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题。但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同子问题的数目常常只有多项式量级。在用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次。如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。用一个表来记录所有已经解决的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划的基本思想。
动态规划算法的基本思想
动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题。
但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同子问题的数目常常只有多项式量级。在用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次。
如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。
动态规划的求解步骤
a. 找出最优解的性质，并刻画其结构特征。
b. 递归地定义最优值。
c. 以自底向上的方式计算出最优值。
d. 根据计算最优值时得到的信息，构造最优解
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动态规划的实质是分治思想和解决冗余，因此动态规划是一种将问题实例分析为更小的、相似的子问题，并存储子问题的解而避免计算重复的子问题，以解决最优化问题的算法策略
动态规划所针对的问题有一个显著的特征，即它对应的子问题树中的子问题呈现大量的重复。动态规划的关键在于，对于重复的子问题，只在第一次遇到时求解，并把答案保存起来，让以后再遇到时直接引用，不必要重新求解。
动态规划算法的基本思想是什么？
动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。
如何更好的掌握动态规划的思想
动态规划最重要的就是理解最优原理：如果一个决策的前面若干步骤已经确定从而进入某种状态之后，后面的步骤从按照当前状态开始的最优解必然是整体（包括该状态的情况下）的最优解，则该问题满足最优原理。换句话说，在求解（整体问题）的最优解的时候，后面的步骤选择只与当前状态有关，而与如何到达这个状态的步骤无关。
问题满足最优原理之后，我们可以把某个状态到目标的最优解记录下来，这样当通过不同的步骤走到相同的状态的时候，就不需要重复搜索了，有一些问题还可以推出递推公式进行求解。
设计动态规划算法的时候，最核心的就是如何设计状态，使得状态的可能性尽量少，却又同时满足最优原理。例如，如果状态被设置为所有到达该状态步骤组成，显然符合最有原理，但这就和原来的问题一样了，并没有让问题更简单。
动态规划
动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解 决策过程最优化 的过程。20世纪50年代初，美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，从而创立了动态规划。动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域，并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了显著的效果。
虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如 线性规划、非线性规划 )，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。
在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。因此各个阶段决策的选取不能任意确定， 它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展 。当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线．这种把一个问题看作是一个 前后关联具有链状结构的多阶段过程 就称为多阶段决策过程，这种问题称为多阶段决策问题。在多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的， 决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移 ，一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，故有“动态”的含义，称这种解决多阶段决策最优化的过程为动态规划方法
动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。 动态规划算法与分治法类似 ，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是， 适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的 。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。
以一个例子来说明动态规划的概念(leetcode第5题最长回文子串)：
在这个例子中，一个字符串如果是回文子串，那么去掉头尾也照样是回文子串。而每一个字符都有可能是最长回文子串的一部分。
上面这个例子使用一个二维数组表示各个阶段的状态，这个二维数组的行是子串的起始位置，列是子串的结束位置。由于j>=i，所以只需要考虑二维数组的主对角线的上半部分，对角线上的值永远是true。用true表示这个子串是回文串，false不是回文串。那么对于某个固定位置的数组元素来说，它的值依赖于左下角的元素的值。进行填充的时候只能一列一列地进行填充，同一列的元素从上到下依次填充。
什么是动态规划？动态规划的意义是什么？
动态规划是用来求解最优化问题的一种方法。常规算法书上强调的是无后效性和最优子结构描述，这套理论是正确的，但是适用与否与你的状态表述有关。至于划分阶段什么的就有些扯淡了：动态规划不一定有所谓的阶段。其实质是状态空间的状态转移。下面的理解为我个人十年竞赛之总结。基本上在oi和acm中我没有因为动态规划而失手过。所有的决策类求最优解的问题都是在状态空间内找一个可以到达的最佳状态。搜索的方式是去遍历每一个点，而动态规划则是把状态空间变形，由此变成从初始到目标状态的最短路问题。依照这种描述：假若你的问题的结论包含若干决策，则可以认为从初始状态（边界条件）到解中间的决策流程是一个决策状态空间中的转移路线。前提是：你的状态描述可以完整且唯一地覆盖所有有效的状态空间中的点，且转移路线包含所有可能的路径。这个描述是包含动态规划两大条件的。所谓无后效性，指状态间的转移与如何到达某状态无关。如果有关，意味着你的状态描述不能完整而唯一地包括每一个状态。如果你发现一个状态转移有后效性，很简单，把会引起后效性的参数作为状态描述的一部分放进去将其区分开来就可以了；最优子结构说明转移路线包含了所有可能的路径，如果不具备最优子结构，意味着有部分情况没有在转移中充分体现，增加转移的描述就可以了。最终所有的搜索问题都可以描述成状态空间内的状态转移方程，只是有可能状态数量是指数阶的，有可能不满足计算要求罢了。这样的描述下，所有的动态规划问题都可以转变为状态空间内大量可行状态点和有效转移构成的图的从初始状态到最终状态的最短路问题。于是乎，对于动态规划，他的本质就是图论中的最短路；阶段可以去除，因为不一定有明确的阶段划分。
算法之动态规划设计思想
将原问题拆借位若干子问题，同时保存子问题的答案，是的每一个子问题只求解一次，最终获得原问题的答案
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
使用递归的解决方式
很明显这个方法的复杂度已经达到了指数级别。在递归过程中存在很多的重复计算
这里选用leetcode中的题目（10.Climbing Stairs）进行演示
有一个楼梯，总共有n阶台阶。每一次，可以上一个台阶，也可以上两个台阶。问，哦啊上这样的一个楼梯，一共有多少不同的方法。
-如n = 3，可以爬上这个楼梯的方法有【1,1,1】，【1,2】 ，【2,1】
通过记忆优化进行搜索--自上而下的解决问题
自上而下的解决方式是相对会更加容易的，而自下而上思考问题是会更难的
两者的主要区别在于一个是从头部开始计算，而另外一个从底部开始计算。
线性规划区别于递归函数的地方在于线性规划将每次函数调用的结果保存了起来，在下次调用之前先看是否已经存在
线性规划在时间上占优势，而递归在空间上占优势
动态规划法的原理
动态规划法[dynamic programming method (DP)]是系统分析中一种常用的方法。在水资源规划中,往往涉及到地表水库调度、水资源量的合理分配、优化调度等问题,而这些问题又可概化为多阶段决策过程问题。动态规划法是解决此类问题的有效方法。动态规划法是20世纪50年代由贝尔曼（R. Bellman）等人提出,用来解决多阶段决策过程问题的一种最优化方法。所谓多阶段决策过程,就是把研究问题分成若干个相互联系的阶段,由每个阶段都作出决策,从而使整个过程达到最优化。许多实际问题利用动态规划法处理,常比线性规划法更为有效,特别是对于那些离散型问题。实际上,动态规划法就是分多阶段进行决策,其基本思路是：按时空特点将复杂问题划分为相互联系的若干个阶段,在选定系统行进方向之后,逆着这个行进方向,从终点向始点计算,逐次对每个阶段寻找某种决策,使整个过程达到最优,故又称为逆序决策过程。
[1]动态规划的基本思想
前文主要介绍了动态规划的一些理论依据，我们将前文所说的具有明显的阶段划分和状态转移方程的动态规划称为标准动态规划，这种标准动态规划是在研究多阶段决策问题时推导出来的，适合用于理论上的分析。在实际应用中，许多问题的阶段划分并不明显，这时如果刻意地划分阶段法反而麻烦。一般来说，只要该问题可以划分成规模更小的子问题，并且原问题的最优解中包含了子问题的最优解（即满足最优子化原理），则可以考虑用动态规划解决。
动态规划的实质是分治思想和解决冗余，因此，动态规划是一种将问题实例分解为更小的、相似的子问题，并存储子问题的解而避免计算重复的子问题，以解决最优化问题的算法策略。
由此可知，动态规划法与分治法和贪心法类似，它们都是将问题实例归纳为更小的、相似的子问题，并通过求解子问题产生一个全局最优解。其中贪心法的当前选择可能要依赖已经作出的所有选择，但不依赖于有待于做出的选择和子问题。因此贪心法自顶向下，一步一步地作出贪心选择；而分治法中的各个子问题是独立的（即不包含公共的子子问题），因此一旦递归地求出各子问题的解后，便可自下而上地将子问题的解合并成问题的解。但不足的是，如果当前选择可能要依赖子问题的解时，则难以通过局部的贪心策略达到全局最优解；如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题。
解决上述问题的办法是利用动态规划。该方法主要应用于最优化问题，这类问题会有多种可能的解，每个解都有一个值，而动态规划找出其中最优（最大或最小）值的解。若存在若干个取最优值的解的话，它只取其中的一个。但是首先要保证该问题的无后效性,即无论当前取哪个解,对后面的子问题都没有影响.在求解过程中，该方法也是通过求解局部子问题的解达到全局最优解，但与分治法和贪心法不同的是，动态规划允许这些子问题不独立，（亦即各子问题可包含公共的子子问题）也允许其通过自身子问题的解作出选择，该方法对每一个子问题只解一次，并将结果保存起来，避免每次碰到时都要重复计算。
因此，动态规划法所针对的问题有一个显著的特征，即它所对应的子问题树中的子问题呈现大量的重复。动态规划法的关键就在于，对于重复出现的子问题，只在第一次遇到时加以求解，并把答案保存起来，让以后再遇到时直接引用，不必重新求解。
3、动态规划算法的基本步骤
设计一个标准的动态规划算法，通常可按以下几个步骤进行：
（1）划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。注意这若干个阶段一定要是有序的或者是可排序的（即无后向性），否则问题就无法用动态规划求解。
（2）选择状态：将问题发展到各个阶段时所处于的各种客观情况用不同的状态表示出来。当然，状态的选择要满足无后效性。
动态规划算法 通俗的讲解一下
这种技术采用自底向上的方式递推求值，将待求解的问题分解成若干个子问题，先求解子问题，并把子问题的解存储起来以便以后用来计算所需要求的解。简言之，动态规划的基本思想就是把全局的问题化为局部的问题，为了全局最优必须局部最优。多阶段决策问题是根据问题本身的特点，将其求解的过程划分为若干个相互独立又相互联系的阶段，在每一个阶段都需要做出决策，并且在一个阶段的决策确定以后再转移到下一个阶段，在每一阶段选取其最优决策，从而实现整个过程总体决策最优的目的
