极限的概念与性质

1、“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。

2、以上是属于“极限”内涵通俗的描述，“极限”的严格概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。

3、极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。

4、所谓极限的思想，是指“用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想”。

5、用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。

6、极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科，并且计算结果误差小到难于想像，因此可以忽略不计。

如何理解函数极限的定义？

极限存在的定义是：

函数在某一点极限存在的充要条件是函数左极限和右极限在某点都存在且相等，即从左趋向于所求点时的极限值和从右趋向于所求点的极限值相等。

如果左右极限不相同、或者不存在，则函数在该点极限不存在。

极限的性质：

和实数运算的相容性，譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列{xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。

与子列的关系数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。

函数极限的概念

函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。

函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。

方法
①利用函数连续性：

（就是直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0）

②恒等变形

当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：

第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。

第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

第三：以上我所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）

当然还会有其他的变形方式，需要通过练习来熟练。

③通过已知极限

特别是两个重要极限需要牢记。

④采用洛必达法则求极限。

洛必达法则是分式求极限的一种很好的方法，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。

洛必达法则：符合形式的分式的极限等于分式的分子分母同时求导。

sinx/|x|x不等于0为什么连续

极限为0，因为当x趋近于无穷大的时候sinx的取值范围是[-1，1]。而x为分母，当趋近于无穷大的时候sinx/x的极限是0。 极限的定义： 极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。

极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。在现代的数学分析教科书中，几乎所有基本概念（连续、微分、积分）都是建立在极限概念的基础之上。 极限性质：

1.极限的不等式性质 2.收敛数列的有界性 设Xn收敛，则Xn有界。（即存在常数M>0，|Xn|≤M, n=1,2,...）

3.夹逼定理 4.单调有界准则：单调有界的数列（函数）必有极限 函数极限的基本性质 1.极限的不等式性质 2.极限的保号性 3.存在极限的函数局部有界性 设当x→x0时f(x)的极限为A，则f(x)在x0的某空心邻域U0(x0,δ) = {x| 0 < | x - x0 | < δ}内有界,即存在 δ>0, M>0,使得0 < | x - x0 | < δ 时 |f(x)| ≤M. 4.夹逼定理

函数的极限定义

函数极限的定义是某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”，其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。
函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。

大学数学基础教程的目录

第1章　函数初步
§1.1函数的概念
1.1.1　函数的定义
1.1.2　函数的表示法
1.1.3　函数的基本特性
§1.2　复合函数与反函数
1.2.1复合函数
1.2.2　反函数
§1.3　初等函数与分段函数
1.3.1　基本初等函数
1.3.2　初等函数
1.3.3　分段函数
§1.4　经济函数
1.4.1　需求函数与供给函数
1.4.2　总成本函数、总收入函数和总利润函数
1.4.3　效用函数
1.4.4　消费函数与储蓄函数
1.4.5　其他
第2章　极限与连续
§2.1　极限的概念与性质
2.1.1　数列的极限
2.1.2　函数的极限
§2.2　极限的运算法则与存在准则
2.2.1　极限的运算法则
2.2.2　极限存在准则
2.2.3　两个重要极限
§2.3　无穷小量与无穷大量
2.3.1　无穷小量
2.3.2　无穷大量
2.3.3　无穷小量的比较
§2.4　函数的连续性
2.4.1　连续函数的概念
2.4.2函数的间断点及其分类
2.4.3　连续函数的运算法则
2.4.4　闭区间上连续函数的性质
第3章　导数与微分
§3.1　导数的概念
3.1.1　导数的定义
3.1.2　导数的几何意义
3.1.3　可导与连续的关系
§3.2　求导法则
3.2.1函数的和、差、积、商的求导法则
3.2.2　反函数求导法则
3.2.3　复合函数的求导法则
3.2.4　初等函数的求导问题
§3.3　高阶导数
§3.4隐函数和由参数方程所确定的函数对
3.4.1　隐函数的导数
3.4.2　对数求导法
3.4.3由参数方程所确定的函数求导
§3.5　微分与近似计算
3.5.1　微分的概念
3.5.2　微分在近似计算中的应用
§3.6　多元函数基础知识
3.6.1空间直角坐标系简介
3.6.2　曲面及其方程
3.6.3　多元函数的概念
3.6.4　二元函数的极限与连续性
3.6.5　常见的多元经济函数
§3.7　偏导数与高阶偏导数
3.7.1　偏导数的概念
3.7.2　偏导数的计算
3.7.3　偏导数与连续性的关系
3.7.4　高阶偏导数
3.7.5　复合函数的偏导数
§3.8　隐函数的偏导数
§3.9　全微分
§3.10　导数在经济学中的应用
3.10.1　边际与边际分析
3.10.2　弹性与弹性分析
第4章　微分学的应用
第5章　积分学基本理论及应用
第6章　无穷级数
第7章　微分方程
第8章　行列式与矩阵
第9章　向量组的线性相关性
第10章　线性方程组
第11章　特征值与矩阵对角比
第12章　随机事件及其概率
第13章　随机变量及其分布
第14章　随机变量的数字特征与极限定理
第15章　数理统计基础
附录
参考文献
……