1、用来判断函数的增减性。若函数在某区间上单调增，则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正，也就是函数的导数在此区间上均取正值。因此可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性；
2、用来计算不定式的极限。柯西中值定理的一个极其重要的应用就是可以用来计算未定型的极限。两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限。
柯西中值定理的应用
若函数在某区间上单调增（或减），则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正（或负），也就是函数的导数在此区间上均取正值（或负值）。因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性。
例1设f(0)=0，f(x）在（0，+∞）上单调递增。证明：f(x)x在（0，+∞）上单调递增。
证明由柯西中值定理，可以得出f(x)x=f(x)-f(0)x-0=f′（ξ）1=f′（ξ），0<；ξ<x，由此可知f(x)x′>0。这样就可以证明f(x)x在（0，+∞）上单调递增。 柯西中值定理的一个极其重要的应用就是可以用来计算未定型的极限。两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限，分别记00，∞∞，0/∞；0-∞，∞-∞和∞∞型不定式。
仔细观察柯西中值定理表达式的形式，可以看到两个函数式的比值，在移动条件下可以化成两个函数的导数的比值，这样就有可能使得作为未定型的分式的分子与分母所表示的函数，我们将以微分中值定理为理论依据，通过求导，建立一个简便而有效的求非未定型极限的方法。我们得出下面这个定理：
⑴两个函数和在开区间可微，并且在这个开区间上，的导数不等于0；
⑵存在极限，其中A为一个有限的常数。则在以下情况下：和或者。那么就有：。反过来在区间的另一个端点也存在相类似的结果。这个定理就称之为罗必达法则，能有效地应用于未定型的极限计算。
罗必达法则可以运用于7种未定型的极限计算，而最为基本的未定型只有两种：00和∞∞。00和∞∞型的我们都知道，那么在此就不做介绍了。其他的未定型都可以化成这两种形式：
①0；∞型。
通过恒等式：f(x）·g(x)=f(x)1g(x），从而得到00或∞∞这两种基本形式。
②∞-∞型。
通过恒等式：f(x)-g(x)=1g(x)-1f(x)1f(x）×1g(x），从而得到00型。
③00，∞0，1∞型。
通过恒等式，从而得到00;0-∞，∞-∞，00，∞0，1∞型。再进一步化成00或∞∞这两种基本形式。
对于两种基本形式的未定型，直接应用洛必达法则即可，即表示为。
显然这时的条件为f′（x），g′（x）都存在，并且g′（x）≠0。还有一个不是很明显，因此初学者常常犯错误的地方，就是要求f(x）和g(x）同时以0或者∞为极限。在实际做题时，一定要注意随时验证这三个条件，否则必定会犯错误。。
例2证明：limx→0+x1-ex=-1。
证明令t=x，当x→0+时有t→0+，则可以得到：
limx→0+x1-ex=limx→0+t1-et=limx→0+1-et=-1。 例3设f(x）在开区间（a，b）内二次可微，证明：任意的x，x0∈（a，b），存在ξ∈（x，x0），使f(x)=f(x0)+f′（x0)(x-x0)+12f″（ξ）（x-x0)2成立（这就是泰勒公式一次展开式）。
证明由题可知，只需证明x>x0这一种情况。令
，
求导可得F′（x)=f′（x)-f′（x0），G′（x)=x-x0。
因为F(x0)=G(x0)=0，F′（x0)=G′（x0)=0两次应用到柯西中值定理，可以得到：
f(x)-f(x0)-f(x0)(x-x0)12(x-x0)2=F(x)G(x)=F(x)-F(x0)G(x)-G(x0)=F′（η）G′（η）=F′（η）-F′（x0)G′（η）-G′（x0)=F″（ξ）G″（ξ）=F″（ξ）。
其中η∈（x，x0），ξ∈（x0，η），则f(x)=f(x0)+f′（x0)(x-x0)+12f″（ξ）（x-x0)2得到证明。故命题得证。 ⑴证明中值点的存在性
例4设函数f在区间[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则?ξ∈（a，b），使得f(b)-f(a)=ξlnbaf′（ξ）。
证明设g(x)=lnx，显然它在[a，b]上与f一起满足柯西中值定理的条件，于是存在ξ∈（a，b），使得f(b)-f(a)lnb-lna=f′（ξ）1ξ，即存在ξ∈（a，b）使得f(b)-f(a)=ξf′（ξ）lnba。
⑵证明恒等式
例5 证明：
证明令，则，由于f(x）在[0，1]连续，所以f(x）≡f(0)=π/2。
柯西中值定理？
积分中值定理表达式为：f(x)dx=f(ξ）(b-a)（a≤ξ≤b)。
若函数f(x)在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一个点ξ，使上式成立。中值定理的主要作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则。
积分中值定理在定积分的计算应用中具有重要的作用，下面我们给出几个具体的常见的例子，通过实际应用来加深对积分中值定理的理解。
积分中值定理的作用：
积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。
因此，对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式，或者要证的结论中含有定积分，或者所求的极限式中含有定积分时，一般应考虑使用积分中值定理， 去掉积分号，或者化简被积函数。
