双曲线的中点指双曲线的对称中心,是实轴和虚轴的交点,是两条渐近线的交点。
双曲线是位于平面中的一种平滑曲线,由其几何特性或其解决方案组合的方程定义。双曲线有两片,称为连接的组件或分支,它们是彼此的镜像,类似于两个无限弓。双曲线是由平面和双锥相交形成的三种圆锥截面之一。其他圆锥部分是抛物线和椭圆,圆是椭圆的特殊情况,如果平面与双锥的两半相交,但不通过锥体的顶点,则圆锥曲线是双曲线。
双曲线的顶点坐标是指?求图
双曲线和它的对称轴有两个交点,它们叫做双曲线的顶点。
在二次函数的图像上
顶点式:y=a(x-h)²+k 抛物线的顶点P(h,k),同时,直线x=h为此二次函数的对称轴;顶点坐标:对于二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)其顶点坐标为 [-b/2a,(4ac-b²)/4a]。
扩展资料
1、抛物线y=ax²+bx+c 的图象:当a>0时,开口向上"当a<0时,开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是[ -b/2a,(4ac-b2)/4a]
2、抛物线y=ax²+bx+c ,若a>0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时,y随x的增大而增大.若a<0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时,y随x的增大而减小.
3、抛物线y=ax²+bx+c 的图象与坐标轴的交点:
当△=b²-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x₁,0)和B(x₂,0),其中的x₁,x₂是一元二次方程y=ax²+bx+c
(a≠0)的两根。这两点间的距离AB=|x₂-x₁|。
当△=0,图象与x轴只有一个交点;
当△<0,图象与x轴没有交点。当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0。
4、抛物线y=ax²+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x=-b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b²)/4a。
顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值。
参考资料来源:百度百科-双曲线
参考资料来源:百度百科-顶点坐标
有关双曲线的所有知识点
一般的,双曲线(希腊语“ὑπερβολή”,字面意思是“超过”或“超出”)是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点(叫做焦点)的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍,这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上,它们的中间点叫做中心,中心一般位于原点处。
双曲线中点弦公式是什么?
一.双曲线的定义及双曲线的标准方程:
1 双曲线定义:到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长(<|F1F2|)的点的轨迹((为常数))这两个定点叫双曲线的焦点.
要注意两点:(1)距离之差的绝对值(2)2a<|F1F2|,这两点与椭圆的定义有本质的不同
当|MF1|-|MF2|=2a时,曲线仅表示焦点F2所对应的一支;
当|MF1|-|MF2|=-2a时,曲线仅表示焦点F1所对应的一支;
当2a=|F1F2|时,轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线;
当2a>|F1F2|时,动点轨迹不存在
2双曲线的标准方程:和(a>0,b>0)这里,其中||=2c要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同
3双曲线的标准方程判别方法是:如果项的系数是正数,则焦点在x轴上;如果项的系数是正数,则焦点在y轴上对于双曲线,a不一定大于b,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上
4求双曲线的标准方程,应注意两个问题:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后,运用待定系数法求解
二.双曲线的内外部:
(1)点在双曲线的内部
(2)点在双曲线的外部
三双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1)若双曲线方程为渐近线方程:
(2)若渐近线方程为双曲线可设为
(3)若双曲线与有公共渐近线,可设为(,焦点在x轴上,,焦点在y轴上)
四.双曲线的简单几何性质
-=1(a>0,b>0)
⑴范围:|x|≥a,y∈R
⑵对称性:关于x、y轴均对称,关于原点中心对称
⑶顶点:轴端点A1(-a,0),A2(a,0)
⑷渐近线:
①若双曲线方程为渐近线方程
②若渐近线方程为双曲线可设为
③若双曲线与有公共渐近线,可设为(,焦点在x轴上,,焦点在y轴上)
④与双曲线共渐近线的双曲线系方程是
⑤与双曲线共焦点的双曲线系方程是
五.双曲线 与 的区别和联系
标准方程
性
质
焦点
,
焦距
范围
顶点
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
6弦长公式:若直线与圆锥曲线相交于两点A、B,且分别为A、B的横坐标,则=,若分别为A、B的纵坐标,则=。
第三部分 典型例题分析
考点1 双曲线的定义及标准方程
题型1:运用双曲线的定义
[例1]某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s 已知各观测点到该中心的距离都是1020m 试确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)
解题思路时间差即为距离差,到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的.
[解析]如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系设A、B、C分别是西、东、北观测点,则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020)
设P(x,y)为巨响为生点,由A、C同时听到巨响声,得|PA|=|PC|,故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=-x,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故|PB|- |PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上,
依题意得a=680, c=1020,
用y=-x代入上式,得,∵|PB|>|PA|,
答:巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处
名师指引解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”
新题导练
1设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点,若|PF1|:|PF2|=3:2,则△PF1F2的面积为 ( )
A. B.12 C. D.24
解析: ①
又②
由①、②解得
直角三角形,
故选B。
2如图2所示,为双曲线的左
焦点,双曲线上的点与关于轴对称,
则的值是( )
A.9 B.16 C.18 D.27
[解析] ,选C
3P是双曲线左支上的一点,F1、F2分别是左、右焦点,且焦距为2c,则的内切圆的圆心的横坐标为( )
(A) (B) (C) (D)
[解析]设的内切圆的圆心的横坐标为,
由圆的切线性质知,
题型2 求双曲线的标准方程
[例2 ]已知双曲线C与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2)求双曲线C的方程.
解题思路运用方程思想,列关于的方程组
[解析]解法一:设双曲线方程为-=1由题意易求c=2
又双曲线过点(3,2),∴-=1
又∵a2+b2=(2)2,∴a2=12,b2=8
故所求双曲线的方程为-=1
解法二:设双曲线方程为-=1,
将点(3,2)代入得k=4,所以双曲线方程为-=1
名师指引求双曲线的方程,关键是求a、b,在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e及准线)之间的关系,并注意方程思想的应用
新题导练
4已知双曲线的渐近线方程是,焦点在坐标轴上且焦距是10,则此双曲线的方程为 ;
[解析]设双曲线方程为,
当时,化为,,
当时,化为,,
综上,双曲线方程为或
5以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为___________________
[解析] 抛物线的焦点为,设双曲线方程为,,双曲线方程为
6已知点,,,动圆与直线切于点,过、与圆相切的两直线相交于点,则点的轨迹方程为
A. B.
C.(x > 0) D.
[解析],点的轨迹是以、为焦点,实轴长为2的双曲线的右支,选B
考点2 双曲线的几何性质
题型1 与渐近线有关的问题
1焦点为(0,6),且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 ( )
A. B. C. D.
[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑,选B
基础巩固训练
2以椭圆的右焦点为圆心,且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是
(A) (B)
(C) (D)
[解析]椭圆与双曲线共焦点,焦点到渐近线的距离为b,选A
类型三:综合练习
1已知中心在原点的双曲线C的右焦点为,右顶点为
(Ⅰ)求双曲线C的方程
(Ⅱ)若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且(其中为原点),求k的取值范围
解(1)设双曲线方程为
由已知得,再由,得
故双曲线的方程为
(2)将代入得
由直线与双曲线交与不同的两点得
即且 ① 设,则
,由得,
而
于是,即解此不等式得 ②
由①+②得
故的取值范围为
2.已知直线与双曲线交于、点。
(1)求的取值范围;(2)若以为直径的圆过坐标原点,求实数的值;
(3)是否存在这样的实数,使、两点关于直线对称?若存在,
请求出的值;若不存在,说明理由。
解:(1)由消去,得(1)
依题意即且(2)
(2)设,,则
∵ 以AB为直径的圆过原点 ∴ ∴
但
由(3)(4),,
∴ 解得且满足(2)
(3)假设存在实数,使A、B关于对称,则直线与垂直
∴ ,即 直线的方程为
将代入(3)得
∴ AB中点的横坐标为2 纵坐标为
但AB中点不在直线上,即不存在实数,使A、B关于直线对称。
3.(1)椭圆C:(a>b>0)上的点A(1,)到两焦点的距离之和为4,
求椭圆的方程;
(2)设K是(1)中椭圆上的动点, F1是左焦点, 求线段F1K的中点的轨迹方程;
(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点,P是椭圆上任意一点, 当直线PM、PN的斜率都存在并记为kPM、kPN时,那么是与点P位置无关的定值。试对双曲线 写出具有类似特性的性质,并加以证明。
解:(1)
(2)设中点为(x,y), F1(-1,0)K(-2-x,-y)在上 Þ
(3)设M(x1,y1),N(-x1,-y1), P(xo,yo), xo≠x1
则 为定值
4已知双曲线,问过点A(1,1)能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点,并且A为线段PQ的中点?若存在,求出直线的方程,若不存在,说明理由。
错解 设符合题意的直线存在,并设、
则 (1)得 因为A(1,1)为线段PQ的中点, 所以 将(4)、(5)代入(3)得
若,则直线的斜率 所以符合题设条件的直线存在。 其方程为 剖析 在(3)式成立的前提下,由(4)、(5)两式可推出(6)式,但由(6)式不能推出(4)(5)两式,故应对所求直线进行检验,上述错解没有做到这一点,故是错误的。 应在上述解题的基础上,再由
得 根据,说明所求直线不存在。
5已知两定点满足条件的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点。
(Ⅰ)求k的取值范围;
(Ⅱ)如果且曲线E上存在点C,使求。
解:(Ⅰ)由双曲线的定义可知,曲线是以为焦点的双曲线的左支,
且,易知
故曲线的方程为
设,由题意建立方程组
消去,得
又已知直线与双曲线左支交于两点,有
解得
∵
依题意得
整理后得
∴或
但 ∴
故直线的方程为
设,由已知,得
∴,
又,
∴点
将点的坐标代入曲线的方程,得得,
但当时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意
∴,点的坐标为
到的距离为
∴的面积
6已知P为双曲线的右支上一点,分别是椭圆的长轴顶点,连接交椭圆于,若与面积相等
(1)求直线的斜率和直线的倾斜角;
(2)当的值为多少时,直线恰好过椭圆的右焦点?
7已知双曲线的焦点在轴上,渐近线方程为,焦距为
(1)求双曲线的方程;
(2)过点的直线与双曲线交于,求线段的中点P的轨迹方程;
(3)过点能否作直线,使与所给双曲线有两个交点,且点是线段的中点,若存在,求出它的方程;若不存在,说明理由
8已知双曲线的左、右焦点分别为,,过点的动直线与双曲线相交于两点.
(I)若动点满足(其中为坐标原点),求点的轨迹方程;
(II)在轴上是否存在定点,使·为常数?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
解:由条件知,,设,.
(I)解法一:(I)设,则则,,
,由得
即
于是的中点坐标为.
当不与轴垂直时,,即.
又因为两点在双曲线上,所以,,两式相减得
,即.
将代入上式,化简得.
当与轴垂直时,,求得,也满足上述方程.
所以点的轨迹方程是.
(II)假设在轴上存在定点,使为常数.
当不与轴垂直时,设直线的方程是.
代入有.
则是上述方程的两个实根,所以,,
于是
.
因为是与无关的常数,所以,即,此时=.
当与轴垂直时,点的坐标可分别设为,,
此时.
故在轴上存在定点,使为常数.
9(2009上海卷)(本题满分16分)
已知双曲线C的中心是原点,右焦点为F,一条渐近线m:,设过点A的直线l的方向向量。
(1) 求双曲线C的方程;
(2) 若过原点的直线,且a与l的距离为,求K的值;
(3) 证明:当时,在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为
(1)解 设双曲线的方程为
,解得,双曲线的方程为
(2)解 直线,直线
由题意,得,解得
(3)证明 方法一 设过原点且平行于的直线
则直线与的距离当时,
又双曲线的渐近线为
双曲线的右支在直线的右下方,
双曲线右支上的任意点到直线的距离大于。
故在双曲线的右支上不存在点,使之到直线的距离为
(3)方法二 假设双曲线右支上存在点到直线的距离为,
则
由(1)得
设,
当时,;
将代入(2)得
,
方程不存在正根,即假设不成立,
故在双曲线的右支上不存在点,使之到直线的距离为
10(2009福建卷文)已知直线经过椭圆 的左顶点A和上顶点D,椭圆的右顶点为,点和椭圆上位于轴上方的动点,直线,与直线
分别交于两点。
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求线段MN的长度的最小值;
(Ⅲ)当线段MN的长度最小时,在椭圆上是否存在这样的点,使得的面积为?若存在,确定点的个数,若不存在,说明理由
解 方法一(I)由已知得,椭圆的左顶点为上顶点为
故椭圆的方程为
(Ⅱ)直线AS的斜率显然存在,且,故可设直线的方程为,
从而
由得0
设则得,从而
即又
由得
故
又
当且仅当,即时等号成立
时,线段的长度取最小值
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当取最小值时,
此时的方程为
要使椭圆上存在点,使得的面积等于,只须到直线的距离等于,所以在平行于且与距离等于的直线上。
设直线
则由解得或
双曲线中点弦公式:
双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1上,过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为:αx/a^2-βy/b^2=α^2/a^2-β^2/b^2。
中点弦存在的条件:(α^2/a^2-β^2/b^2)(α^2/a^2-β^2/b^2-1)>0(点P不在双曲线、渐近线上以及它们所围成的区域内)。
这个固定的距离差是a的两倍,这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上,它们的中间点叫做中心,中心一般位于原点处。
扩展资料:
双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直(较低曲率)的两个臂。对角线对面的手臂,一个从每个分支,倾向于一个共同的线,称为这两个臂的渐近线。所以有两个渐近线,其交点位于双曲线的对称中心,这可以被认为是每个分支反射以形成另一个分支的镜像点。
双曲线共享许多椭圆的分析属性,如偏心度,焦点和方向图。许多其他数学物体的起源于双曲线,例如双曲抛物面(鞍形表面),双曲面(“垃圾桶”),双曲线几何(Lobachevsky的着名的非欧几里德几何),双曲线函数(sinh,cosh,tanh等)和陀螺仪矢量空间(提出用于相对论和量子力学的几何,不是欧几里得)。
参考资料来源:百度百科——双曲线