常见的基本勾股数有3、4、5 ， 5、12、13 ，7、24、25 ，9、40、41等。
以上基本的勾股数乘以2即可得到全是偶数的勾股数，例如，6、8、10，10、24、36，14、48、50，18、80、82等。
勾股数：又名毕氏三元数。凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。
勾股数的神奇规律
我们先来观察一组勾股数：
a、b、c
3、4、5
5、12、13
7、24、25
9、40、41
11、60、61
13、84、85
15、110、111
可以找到什么样的规律呢？
先看第一列数a，我们会发现，全部都是奇数（3、5、7、9、11、13、15），而且还全是连续的奇数，全是以+2、+2、+2的方式往下推进，那么我们假设n为自然数（n≠0），那么第一列数a就可以表示为2n+1（任意偶数+1都为奇数）。再来看第二列数b和第三列数c，发现b全为偶数，c全为奇数，并且c=b+1。之后我们再一组一组地观察，勾股定理就不用再次重申了，但是我们会发现a²=b+c。依靠以上我们整理出的几点，我们可以推算出一个公式，利用这个公式我们可以快速找出与a相匹配的勾股数。
∵a²=b+c，c=b+1
∴a²=b+b+1，即a²=2b+1
那我们如何用这个公式快速找到与之匹配的勾股数呢？
我们以17为例，当a=17时，等式加载为17²=2b+1
17²=2b+1
289=2b+1
288=2b
b =144
∴c=144+1=145
最后验证一下
17²=289
144²=20736
145²=21025
21025-20736=289
∴验证成功！
于是这个公式似乎成为了一个寻找勾股数组的快捷方式，可以说是一个勾股数软件中的快捷键。
可是，为什么会有这样的规律呢？这个规律可靠吗？我们还要继续探索。再观察这些勾股数，我又发现了一个规律：
勾股数3、4、5有3²=9=4+5，而4=21（1+1）
勾股数5、12、13有5²=25=12+13，而12=22（2+1）
勾股数7、24、25有7²=49=24+25，而24=23（3+1）
勾股数9、40、41有9²=81=40+41，而40=24（4+1）
……
接下来我们再观察一组勾股数：
6、8、10
8、15、17
10、24、26
12、35、37
14、48、50
16、63、65
18、80、82
第一列数a全是偶数，且还全是连续的偶数，全是以+2、+2、+2的方式往下推进，用n来表示，即为2n（n≥3）。再看后面两列，发现相同一行后两数都只相差2，所以可以推导出c=b+2，并且通过一组一组地观察，我们发现a²=2(b+c)，那么接下来我们开始去往结果星球的航道上：
∵a²=2（b+c），c=b+2
∴a²=2（b+b+2），即a²=2（2b+2）
再∴a²=4b+4
那么我们再次来验证一下推导出的快捷公式：
∵a²=4b+4
∴当a=32时，等式为32²=4b+4
32²=4b+4
1024=4b+4
1020=4b
b=255
∴c=255+2=257
验证一下：
32²=1024
255²=65025
257²=66049
66049-65025=1024
我们似乎又找到了一个a为大于等于6的偶数时，找到其匹配勾股数的快捷方式：当a=2n（n≥3），a²=4b+4，c=b+2时，a、b、c是一组一组勾股数。可是，为什么会有这样的规律呢？
让我们继续观察数字：
勾股数6、8、10有6²=36=2（8+10），而8=3²-1，10=3²+1
勾股数8、15、17有8²=64=2（15+17），而15=4²-1，17=4²+1
勾股数10、24、26有10²=100=2（24+26），而24=5²-1，26=5²+1
……
当然，也并不是所有的勾股数都包含其中，也有一些特例，如下：
12、16、20
15、20、25
18、24、30
21、28、35
……
这一些的规律和之前的不同，这一些的规律是a=3n、b=4n、c=5n为一组勾股数（n≥1）。
还有一些，如下：
20、21、29
20、99、101
48、55、73
60、91、109
虽然大部分勾股数我们都可以用以上的3种规律寻找到，但有一些特例我们依然只能用a²+b²=c²来验证是不是勾股数组。
常见的勾股数有哪些
勾股数是满足a²+b²=c²的正整数。
假设a，b，c均是奇数，则左边=偶数，右边=奇数
左边≠右边，所以a，b，c至少有一个偶数。
假设a，b，c中有两个偶数，一个奇数。则可以推出三个数均为偶数，矛盾。
三个偶数是可以的。例如6,8,10。
但是对于两两互质的勾股数组，必然是两个奇数，一个偶数。
勾股数是什么数？
1、常见组合：
3，4，5 ： 勾三股四弦五
5，12，13 ： 5·21（12）记一生（13）
6，8，10： 连续的偶数
2、特殊组合：
连续的勾股数只有3，4，5
连续的偶数勾股数只有6，8，10
勾股数，又名毕氏三元数 。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方（a²+b²=c²）。
扩展资料：
一、公式
a=m，b=(m^2 / k - k) / 2，c=(m^2 / k + k) / 2 ①
其中m ≥3
1、当m确定为任意一个 ≥3的奇数时，k={1，m^2的所有小于m的因子}
2、当m确定为任意一个 ≥4的偶数时，k={m^2 / 2的所有小于m的偶数因子}
二、常见组合套路
1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n²+2n, c=2n²+2n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
2、当a为大于4的偶数2n时，b=n²-1, c=n²+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
参考资料来源：百度百科－勾股数
勾股数顺口溜
勾股数指的是组成一个直角三角形的三条边长，三条边长都为正整数，例如直角三角形的两条直角边为a和b，斜边为c，那么两条直角边a的平方+b的平方等于斜边c的平方，那么这一组数组就叫做勾股数。一般把较短的直角边称为勾，较长直角边称为股，而斜边则为弦。
结合勾股数创造了勾股定理，是为了解不定方程的所有整数解而创造的定律。勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。
扩展资料
勾股数的特点：
1、满足勾股数的直角三角形的两条直角边为一个奇数，一个偶数，同时斜边为奇数。
2、连续的勾股数只有3，4，5这三个正整数。
3、连续的偶数勾股数只有6，8，10这三个整数。
参考资料来源：百度百科-勾股数
勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股数顺口溜为勾三股四弦五，5月12记一生，连续偶数6，8，10，八月十五在一起。
勾股数顺口溜
3，4，5：勾三股四弦五
5，12，13：5月12记一生（13）
6，8，10：连续的偶数
8，15，17：八月十五在一起（17）
特殊勾股数：
连续的勾股数只有3，4，5
连续的偶数勾股数只有6，8，10
勾股数的含义勾股数，又名毕氏三元数。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方（a²+b²=c²）。
勾股定理的含义勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
