排序不等式是数学上的一条不等式。它可以推导出很多有名的不等式，例如算术几何平均不等式，柯西不等式，和切比雪夫总和不等式。
排序不等式的和是两组实数，而且是一个排列。排序不等式指出，顺序和不小于乱序和，乱序和不小于逆序和。与很多不等式不同，排序不等式不需限定的符号。
排序不等式
条件应该有a, b, c > 0吧.
考虑两组数a, b, c与bc, ca, ab.
可知二者顺序相反, 即若a > b则bc = abc/a < abc/b = ca.
进而a, b, c与a(b+c), b(c+a), c(a+b)顺序相同(a(b+c) = ab+bc+ca-bc).
于是a, b, c与1/(a(b+c)), 1/(b(c+a)), 1/(c(a+b))顺序相反.
由排序不等式, 反序和1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b) = a/(a(b+c))+b/(b(c+a))+c/(c(a+b))最小.
有1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b) ≤ b/(a(b+c))+c/(b(c+a))+a/(c(a+b)),
以及1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b) ≤ c/(a(b+c))+a/(b(c+a))+b/(c(a+b)).
相加得2/(b+c)+2/(c+a)+2/(a+b) ≤ 1/a+1/b+1/c.
即1/(2a)+1/(2b)+1/(2c) ≥ 1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b).
关于排序不等式的基本概念
你说的没错 总共是有n!种不同的和 ，排序不等式告诉我们在这些和中 顺序和最大，逆序和最小。 至于证明切比雪夫不等式时，只选了其中n种和 凑成了
（a1+a2+....+an）（b1+b2+.....+bn） 的形式 它再除以n 自然是介于顺序和和逆序和之间了
排序不等式的证明
上面的能看懂就好啦~~~~
注：k、n、n-1、jn是下标，a、b是主字母
证明顺序和不小于乱序和:
不妨设在乱序和S中jn≠n时（若jn=n，则考虑jn-1），且在和S中含有项akbn（k≠n），则akbn+anbjn≤anbjn+anbn （1）
因为左-右=（an-ak）（bn-bjn）≥0
由此可知，当jn≠n时，调换S=a1bj1+...+akbjk+...+anbjn(jn≠n)中bn与jn位置（其余不动）所得新和S1≥S。
调整好an及bn后，接着再仿上调整an-1与bn-1，又得S2≥S。
如此至多经n-1次调整得顺序和
a1b1+a2b2+...+anbn≥a1bj1+a2bj2+...+anbjn （2）
这就证得“顺序和不小于乱序和”
显然，当a1=a2=...=an或b1=b2=...=bn时（2）式中等号成立。反之，若他们不全相等，则必存在jn及k，使bn>bjn，an>ak，这时（1）中不等号成立。因而对这个排列（2）中不等号成立。
类似的可证“乱序和不小于逆序和”。
如何证明排序不等式
设有两组数 a 1 , a 2 ,…… a n, b 1 , b 2 ,…… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n, b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 则有 a 1 b n + a 2 b n−1 +……+ a n ≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 + a n b n 式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列， 当且仅当 a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 时成立。
以上排序不等式也可简记为： 反序和≤乱序和≤同序和.
证明时可采用逐步调整法。
例如，证明：其余不变时，将a 1 b 1 + a 2 b 2 调整为a 1 b 2 + a 2 b 1 ，值变小，只需作差证明（a 1 -a 2 ）*（b 1 -b 2 ）≥0，这由题知成立。
依次类推，根据逐步调整法，排序不等式得证。
很多竞赛书上都有的，可以去找找。
排序不等式是几年级的
高中数学竞赛，其基本形式是两个非负数列an，bn（都按照顺序从小到大排列的）
反序和≤乱序和≤同序和.
排序不等式表述如下，设有两组数a1,a2,……an,b1,b2,……bn满足a1≤a2≤……≤an,b1≤b2≤……≤bn则有
a1×bn+a2×bn-1+……+an×b1≤a1×bt1+a2×bt2+……+an×btn≤a1×b1+a2b2+an×bn
式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列，当且仅当a1=a2=……=an或b1=b2=……=bn时成立。一般为了便于记忆，常记为：反序和≤乱序和≤同序和.
什么是向量递归方法讨论排序不等式
不可以。排序不等式的表述是：
设有两组数a1,a2,……an,b1,b2,……bn满足a1≤a2≤……≤an,b1≤b2≤……≤bn则有a1bn+a2bn-1+……+anb1≤a1bt+a2bt+……+anbt≤a1b1+a2b2+anbn式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列，当且仅当a1=a2=……=an或b1=b2=……=bn时成立。一般为了便于记忆，常记为：反序和≤乱序和≤同序和。
应用排序不等式证明不等式，必须构造出两列个数相等的数组，并且要利用数组的大小关系进行解题。
因此排序不等式必须是两组数列！
排序不等式证明
设a1<=a2<=…<=an
b1<=b2<=…<=bn
(这里没有规定 ai , bi >0 )
用数学归纳法证明：
n=2 时 a1b2+a2b1<=a1a2+b1b2 <==> (a1-a2)(b1-b2)>=0 成立
假设n=k时 成立
n=k+1 对于 乱序和≤反序和
将与a1 ，b1 有关的拿出来
有 a1bl+b1at(乱序)
给出 a1bl+b1at<=a1b1+atbl <==> (a1-at)(b1-bl)>=0 成立
剩下 k项满足假设。
对于 反序和≤乱序和
将与a1 ，b(k+1) 有关的拿出来
有a1bl+b(k+1)at(乱序)
给出 a1bl+b(k+1)at>=a1b(k+1)+atbl <==> (a1-at)(b(k+1)-bl)<=0 成立
剩下 k项满足假设。
其实排序不等式主要应用的是 如果 a<=b ; c<=d
&&&&&&&&&&&&&&&& (a-b)(c-d)>=0 &&&&&&&&&&&&&&
希望对你有帮助！
请教不等式排序原理的证明
设有两组数 a 1 , a 2 ,…… a n, b 1 , b 2 ,…… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n, b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 则有 a 1 b n + a 2 b n1 +……+ a n ≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 + a n b n 式中t1,t2,……,tn是1,2,……,n的任意一个排列, 当且仅当 a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 时成立。
以上排序不等式也可简记为: 反序和≤乱序和≤同序和.
证明时可采用逐步调整法。
例如,证明:其余不变时,将a 1 b 1 + a 2 b 2 调整为a 1 b 2 + a 2 b 1 ,值变小,只需作差证明(a 1 -a 2 )*(b 1 -b 2 )≥0,这由题知成立。
依次类推,根据逐步调整法,排序不等式得证。
很多竞赛书上都有的,可以去找找。
排序不等式如何证明？
用逐步调整法
其余不变时，将a 1 b 1 + a 2 b 2 调整为a 1 b 2 + a 2 b 1 ，值变小，只需作差证明（a 1 -a 2 ）*（b 1 -b 2 ）≥0，这由题知成立
