纯粹的热传导或扩散方程就是一个laplace算子外加源项，所以只有二阶导，表示扩散项；一阶导表示对流项，即速度梯度，表示因对流引起的变化，比如在对流传质问题中二者都有，对流项就是考虑了物质流入流出而带入带走的物质，能量，所以也是由守恒定律得出的，在数值求解的时候仅由上游决定，所以不用想扩散项一样在每一个步长内联合求解。
传热学导热微分方程中，这个扩散项怎么理解。就是画红线的。用X轴方向热流量对X求偏导再乘以dx啥意思
首先，导热微分方程的推导是在非稳态条件下 t(x, y, z, τ) 进行的，此时物体内部沿x（或y、或z）的热流密度q处处不等，故此时热流密度q对x（或y、或z）的偏导不为零（稳态条件下为零）。在一微小距离dx内认为热流密度q的变化率是一个定值，等于在x（或y、或z）处热流密度q的变化率，其值为∂q/∂x。故在x+dx处的热流密度为 q+(∂q/∂x)×dx。
（也可以看成是 Φₓ 在 x=x 处的一阶泰勒展开但略去了余项）
热传导方程
齐次热传导方程 ：
非齐次热传导方程 ：
当物体体积很大，考虑时间很短和较小范围内的温度变化情况，边界条件所产生的影响可以忽略，这时就不放吧考察的物体视为充满整个空间，而定解问题就成为 柯西问题 ，此时初始条件为
扩散方程
称为 扩散系数 ，总取正值.
扩散方程为
如果 是常数，记 ，扩散方程就化为与热传导方程完全相同的形式.
初边值问题:
为正常数.
Sol: 分离变量法
令
代入方程有
于是
只有两边均等于常数时才成立. 令此常数为 ，则有
由边界条件得
当 时，只有平凡解
当 时，
利用边界条件 得 ，利用第二个边界条件知
为使 为非平凡解， 应满足
即 应是下述超越方程的正解：
令
则变为
可知有无穷多个正根 ，满足 .
及相应的固有函数
同样可以解得
于是得到一列可分离变量的特解
用叠加原理构造级数形式的解
又
于是得到
于是得到初边值问题
的形式解为
设 是定义在 上的函数，它在 上有异界连续导数，则在 中 可以展开为傅里叶级数
并且
该积分表达式称为 的 傅里叶积分 .
称 为 的 傅里叶变换 ，记为
称 为 的 傅里叶逆变换 ，记为 .
当 在 上连续可导且绝对可积时，它的傅里叶变换存在，且逆变换等于 .
性质 1 线性变换
其中 ， 为函数.
如果对给定的 ，当 时，
存在，则称 为 与 的 卷积 ，记为 . 显然，当 为绝对可积时， ，即卷积是可以交换的.
性质 2
和 的卷积的傅里叶变换等于 和 的傅里叶变换的乘积，即
性质 3
和 乘积的傅里叶变换等于 和 的傅里叶变换的卷积乘以 ，即
性质 4
如果 都是可以进行傅里叶变换的，而且当 时， ，则成立
性质 5
如果 及 都可以进行傅里叶变换，那么
热传导方程柯西问题的求解
解为
也成为泊松公式.
非齐次热传导方程的柯西问题
解为
由叠加原理可以得到柯西问题的解为
的解为
第一类边值问题中：
热传导方程的初边值问题
在区域 上的解是唯一的，而且连续地依赖于边界 上所给定的初始条件及边界条件.
对任意给定的 ，热传导方程的初边值问题在 上的解是唯一的，且连续地依赖于初值 以及边界条件中的函数 .
柯西问题
在有界函数类中的解是唯一的，而且连续依赖于所给的初始条件.
假设初始函数 满足 则当 趋于无穷时，问题
的唯一的经典解指数衰减地趋于零，确切地说，当 时，对一切 ，
其中 为一个与解无关的正常数.
这个唯一经典解是
如果 收敛，则称 ，并记
设 是由解连续函数，且 ，则柯西问题
的唯一经典解具有如下的渐近性态：对一切 ，当 时，一致地连续
其中 为一个仅与 及 有关的正常数.
热传导方程式的介绍
热传导方程式（或称热方程）是一个重要的偏微分方程，它描述一个区域内的温度如何随时间变化。热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用方程式表达，其中u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量 t 与 空间变量 (x,y,z) 的函数。 /是空间中一点的温度对时间的变化率。 uxx, uyy 与 uzz 温度对三个空间坐标轴的二次导数。k决定于材料的热传导率、密度与热容。如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程唯一解，必须指定 u 的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。
