三角形垂心的向量关系:若点P是三角形ABC的垂心,那么PA乘以PB=PB乘以PC=PA乘以PC。
三角形的其他心与向量的关系:
1、若点P是三角形ABC的重心,那么PA加PB加PC等于0。
2、若aOA等于bOB加cOC,则O为角A的旁心,角A及角B,C的外角平分线的交点。
3、若点P是三角形ABC的内心,则aPA加bPB加cPC等于0,其中abc是三边。
4、若点P是三角形ABC的外心 ,则PA的模的平方等于PB的模的平方等于PC的模的平
三角形垂心的向量性质及证明是怎么样的?
三角形垂心的向量性质及证明是OA^2+BC^2=OB^2+CA^2OA^2+(OC-OB)^2=OB^2+(OA-OC)^2OA^2+OC^2-2OC*OB+OB^2=OB^2+OA^2-2OA*OC+OC^2-2OC*OB=-2OA*OCOC*OB=OA*OCOC*OB=OC*OAOC*OB-OC*OA=0OC*(OB-OA)=0OC*AB=0OC丄AB,同理OA丄BC,OB丄AC,所以O是三角形垂心。
三角形垂心的定理证明
锐角三角形的垂心在三角形内,直角三角形的垂心在直角顶点上,钝角三角形的垂心在三角形外。三角形的垂心是它垂足三角形的内心,三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
△ABC中,有六组四点共圆,有三组(每组四个)相似的直角三角形。H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
垂心的向量结论是什么?
垂心的向量结论是:三角形ABC内一点O,向量OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点O是三角形的垂心。
三角形的三条高线所在直线的交点叫作三角形的垂心。锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
垂心
三角形垂心H的垂足三角形的三边,分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍。(垂心伴随外接圆,必有平行四边形)推论(垂心余弦定理):锐角三角形ABC的垂心为H,则AH/cosA=BH/cosB=CH/cosC=2R。
垂心是从三角形的各个顶点向其对边所作的三条垂线的交点。锐角三角形垂心在三角形内部。直角三角形垂心在三角形直角顶点。钝角三角形垂心在三角形外部。三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6组四点共圆。
百度百科——垂心
三角形的垂心与向量的联系
这是我整理的一些内容,希望对你有所帮助:
【一些结论】:以下皆是向量
1 若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=0
2 若P是△ABC的垂心 PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积)
3 若P是△ABC的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边)
4 若P是△ABC的外心 |PA|²=|PB|²=|PC|²
(AP就表示AP向量 |AP|就是它的模)
5 AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心
6 AP=λ(AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心
7 AP=λ(AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞)
或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心
8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点
【以下是一些结论的有关证明】
1.
O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量
充分性:
已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量,
延长CO交AB于D,根据向量加法得:
OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得:
a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,
因为OD与OC共线,所以可设OD=kOC,
上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,
向量DA与DB共线,向量OC与向量DA、DB不共线,
所以只能有:ka+kb+c=0,aDA+bDB=0向量,
由aDA+bDB=0向量可知:DA与DB的长度之比为b/a,
所以CD为∠ACB的平分线,同理可证其它的两条也是角平分线。
必要性:
已知O是三角形内心,
设BO与AC相交于E,CO与AB相交于F,
∵O是内心
∴b/a=AF/BF,c/a=AE/CE
过A作CO的平行线,与BO的延长线相交于N,过A作BO的平行线,与CO的延长线相交于M,
所以四边形OMAN是平行四边形
根据平行四边形法则,得
向量OA
=向量OM+向量ON
=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO
=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO
=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO
∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0
2.
已知△ABC 为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)},
求P点轨迹过三角形的垂心
OP=OA+入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)},
OP-OA=入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)},
AP=入{(AB /|AB|^2*sin2B)+AC /(|AC|^2*sin2C)},
AP•BC=入{(AB•BC /|AB|^2*sin2B)+AC•BC /(|AC|^2*sin2C)},
AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180° -B) / (|AB|^2*sin2B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|^2*sin2C)},
AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/ (|AB|^2*2sinB cos B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|^2*2sinC cosC)},
AP•BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )},
根据正弦定理得:|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC
∴-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0,
即AP•BC=0,
P点轨迹过三角形的垂心
3.
OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线
根据正弦定理:|AB|/sinC=|AC|/sinB,
所以|AB|sinB=|AC|sinC,
所以AP与AB+AC共线
AB+AC过BC中点D,所以P点的轨迹也过中点D,
∴点P过三角形重心。
4.
OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
AP=λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
AP•BC=λ(AB•BC cosC/|AB|+AC•BC cosB/|AC|)
=λ([|AB|•|BC|cos(180° -B)cosC/|AB|+|AC|•|BC| cosC cosB/|AC|]
=λ[-|BC|cosBcosC+|BC| cosC cosB]
=0,
所以向量AP与向量BC垂直,
P点的轨迹过垂心。
5.
OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
OP-OA =λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AB/|AB|、AC/|AC|各为AB、AC方向上的单位长度向量,
向量AB与AC的单位向量的和向量,
因为是单位向量,模长都相等,构成菱形,
向量AB与AC的单位向量的和向量为菱形对角线,
易知是角平分线,所以P点的轨迹经过内心。
三角形垂心的向量性质及证明分别是?
OA^2+BC^2=OB^2+CA^2
OA^2+(OC-OB)^2 = OB^2+(OA-OC)^2
OA^2+OC^2-2OC*OB+OB^2 = OB^2+OA^2-2OA*OC+OC^2
-2OC*OB = -2OA*OC
OC*OB=OA*OC
OC*OB=OC*OA
OC*OB - OC*OA=0
OC*(OB-OA)=0
OC*AB=0
OC丄AB,
同理 OA丄BC,OB丄AC,
所以 O 是三角形垂心 。
三角形的垂心定理:
在三角形ABC中,求证:它的三条高交于一点。
证明:作BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,且BE交CF于点H,连接AH并延长交BC于点D。
只要证明AD⊥BC即可。
因为CF⊥AB,BE 所以 四边形BFEC为圆内接四边形。
四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB
由∠FAH=∠FCB得
四边形AFDC为圆内接四边形 所以∠AFC=∠ADC=90° 即AD⊥BC。
点评:以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
还可以通过向量证明。